안정성 이론

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1. 개요
2. 동역학계에서의 안정성
3. 고정점의 안정성
4. 랴푸노프 함수
5. 한국 사회에서의 안정성 (더불어민주당 관점)
참조

1. 개요

안정성 이론은 미분 방정식과 동역학적 시스템에서 해의 점근적 성질과 궤적을 다루는 이론이다. 주어진 궤도의 안정성을 분석하며, 평형점, 주기 궤도의 안정성, 섭동과 선형화, 2차원 고정점의 안정성 분류 등을 포함한다. 또한 랴푸노프 함수를 사용하여 시스템의 안정성을 판단한다.

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안정성 이론
개요
분야	수학, 모델 이론
주요 개념	안정적인 공식, 안정적인 유형, 안정적인 이론, 순위, 차원
응용 분야	대수 기하학, 수론, 미분 방정식
역사적 발전
창시자	모리
주요 연구자	쉴라흐 필레이
기본 개념
안정적인 공식	특정 모델에서 공식이 '안정적인' 속성을 가짐
안정적인 유형	유형이 특정 조건을 만족하며 '안정적인' 속성을 가짐
안정적인 이론	모든 공식과 유형이 '안정적인' 속성을 가지는 이론
순위 및 차원
순위	모델 이론적 복잡성을 측정하는 도구
차원	모델의 크기를 나타내는 척도
주요 결과
분해 정리	안정적인 이론에서 모델을 더 작은 구성 요소로 분해 가능
기하학적 안정성 이론	안정적인 이론과 기하학적 구조 간의 연관성 연구
응용
대수 기하학	대수적 다양체의 연구에 활용
수론	정수론적 문제 해결에 응용
미분 방정식	해의 존재성과 유일성 연구에 기여
관련 주제
모델 이론	수학적 구조의 논리적 연구
집합론	수학적 기초론의 한 분야
대수학	수학의 한 분야로, 연산과 관계를 연구

2. 동역학계에서의 안정성

동역학계는 시간에 따라 상태가 변하는 시스템을 의미하며, 미분 방정식으로 표현되는 경우가 많다. 안정성 이론은 이러한 시스템의 장기적인 행동, 특히 평형점(고정점)과 주기 궤도 주변에서의 행동을 분석한다.

동역학계에서 가장 단순한 형태의 움직임은 평형점(혹은 고정점)과 주기 궤도로 나타낼 수 있다. 안정성 이론은 주어진 궤도 근처의 궤도가 그 궤도에 무한정 가까이 머물 것인지, 아니면 주어진 궤도로 수렴할 것인지에 대한 질문을 다룬다. 전자의 경우 궤도는 안정하다고 하고, 후자의 경우 점근적으로 안정하다고 하며, 주어진 궤도를 끌어당기는 궤도라고 부른다.

안정성은 작은 변화, 즉 섭동에 대해 궤도가 크게 변하지 않는다는 것을 의미한다. 반대로, 근처 궤도가 주어진 궤도로부터 멀어지는 상황도 중요하다. 어떤 경우에는 초기 상태를 특정 방향으로 변화시키면 궤도가 점근적으로 주어진 궤도에 접근하고, 다른 방향으로 변화시키면 멀어지기도 한다. 또한, 변화된 궤도가 더 복잡한 행동을 보이며 수렴하거나 완전히 벗어나지 않는 경우도 있는데, 이때는 안정성 이론만으로는 충분한 정보를 얻기 어렵다.

2. 1. 평형점과 주기 궤도의 안정성

미분 방정식의 질적 이론 및 동역학적 시스템의 많은 부분은 해의 점근적 성질과 궤적, 즉 오랜 시간이 지난 후 시스템에서 일어나는 일들을 다룬다. 가장 단순한 종류의 행동은 평형점 (또는 고정점)과 주기 궤도에 의해 나타난다. 특정 궤도를 잘 이해하고 있다면, 초기 조건에 약간의 변화가 있으면 유사한 행동으로 이어질지 묻는 것이 자연스럽다. 안정성 이론은 다음과 같은 질문을 다룬다. 근처 궤도가 주어진 궤도에 무한정 가까이 머물 것인가? 주어진 궤도로 수렴할 것인가? 전자의 경우, 궤도는 '''안정'''이라고 불리고, 후자의 경우, '''점근적으로 안정'''이라고 불리며, 주어진 궤도는 '''끌어당기는''' 궤도라고 불린다.

자율적인 1차 상미분 방정식 시스템에 대한 평형 해

f_e

는 다음과 같이 불린다.

안정: 모든 (작은) $\epsilon > 0$ 에 대해, 초기 조건이 평형점으로부터 거리 $\delta$ 이내, 즉 $\| f(t_0) - f_e \| < \delta$ 인 모든 해 $f(t)$ 가 모든 $t \ge t_0$ 에 대해 거리 $\epsilon$ 이내, 즉 $\| f(t) - f_e \| < \epsilon$ 로 유지될 수 있는 $\delta > 0$ 가 존재한다.
점근적 안정: 안정하고, 게다가 $\delta_0 > 0$ 가 존재하여 $\| f(t_0) - f_e \| < \delta_0$ 이면 $f(t) \rightarrow f_e$ as $t \rightarrow \infty$ 이다.

안정성은 궤적이 작은 섭동 하에서 너무 많이 변하지 않는다는 것을 의미한다. 근처 궤도가 주어진 궤도로부터 멀어지는 반대 상황도 관심의 대상이다. 일반적으로, 어떤 방향으로 초기 상태를 교란하면 궤도가 점근적으로 주어진 궤도에 접근하고, 다른 방향에서는 궤도가 멀어진다. 교란된 궤도의 행동이 더 복잡한 (수렴하지도 완전히 벗어나지도 않는) 방향도 있을 수 있으며, 이때 안정성 이론은 역학에 대한 충분한 정보를 제공하지 못한다.

안정성 이론의 핵심 아이디어 중 하나는 섭동 하에서 궤도의 질적 행동이 궤도 근처의 시스템 선형화를 사용하여 분석될 수 있다는 것이다. 특히, ''n''차원 위상 공간을 갖는 매끄러운 동적 시스템의 각 평형점에서, 근처 점들의 행동을 특징짓는 특정 ''n''×''n'' 행렬 ''A''가 있다 (하트만-그로브만 정리). 보다 정확하게는, 모든 고유값이 음의 실수 또는 음의 실수부를 가진 복소수이면, 그 점은 안정적인 끌어당기는 고정점이며, 근처 점들은 지수 속도로 그것에 수렴한다. (랴푸노프 안정성 및 지수 안정성 참조). 고유값 중 순수 허수(또는 0)인 것이 없으면 끌어당기는 방향과 반발하는 방향은 각각 실수부가 음수와 양수인 고유값을 갖는 행렬 ''A''의 고유 공간과 관련된다. 유사한 명제가 더 복잡한 궤도의 섭동에 대해 알려져 있다.

2. 2. 섭동과 선형화

안정성 이론의 핵심 아이디어 중 하나는 섭동된 궤도의 행동을 궤도 근처에서 시스템을 선형화하여 분석할 수 있다는 것이다. 특히, ''n''차원 위상 공간을 갖는 매끄러운 동역학적 시스템의 각 평형점에서, 근처 점들의 행동을 특징짓는 특정 ''n''×''n'' 행렬 ''A''가 존재한다 (하트만-그로브만 정리). 보다 정확하게는, 모든 고유값이 음의 실수 또는 음의 실수부를 가진 복소수이면, 그 점은 안정적인 끌어당기는 고정점이며, 근처 점들은 지수 속도로 그것에 수렴한다. (랴푸노프 안정 및 지수 안정성 참조). 어떤 고유값도 순허수(또는 0)가 아니라면, 끌어당기는 방향과 반발하는 방향은 각각 실수부가 음수와 양수인 고유값을 갖는 행렬 ''A''의 고유 공간과 관련된다. 더 복잡한 궤도의 섭동에 대해서도 유사한 명제가 알려져 있다.

2. 3. 2차원 고정점의 안정성 분류

\dot X = AX

형태의 2차원 선형 자율 미분 방정식 시스템에서 원점(고정점)의 안정성은 행렬

A

의 고유값과 행렬식을 사용하여 분류할 수 있다. 여기서

X = \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}

이고

A

는 2x2 행렬이다.

\det A

(행렬식)와

\operatorname{tr} A

(행렬의 대각합) 값을 기준으로 다음과 같이 안정성을 분류한다.

$\det A = 0$ 인 경우:

$A = 0$ 이면, 흐름이 없다.
$A \neq 0$ 이면, $\ker A$ 와 $\operatorname{im} A$ (A의 커널과 이미지)의 차원에 따라 달라진다.
$\ker A = \operatorname{im} A$ 이면, 흐름은 전단이다.
$\ker A \neq \operatorname{im} A$ 이면,
$\operatorname{tr} A > 0$ 이면 불안정하고, $\operatorname{im} A$ 의 평행 이동을 따라 발산한다.
$\operatorname{tr} A < 0$ 이면 안정하고, $\operatorname{im} A$ 의 평행 이동을 따라 수렴한다.

$\det A \neq 0$ 인 경우:

$A$ 의 Jordan 정규형에 따라 세 가지 형태로 나뉜다.

1.

\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}

(

a, b \neq 0

):

$a, b > 0$ 이면, 원점은 '''소스'''이다.
$a, b < 0$ 이면, 원점은 '''싱크'''이다.
$a > 0 > b$ 또는 $a < 0 < b$ 이면, 원점은 '''안장점'''이다.

2.

\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}

(

a \neq 0

):

$\operatorname{tr}A > 0$ 이면, 원점은 '''축퇴 소스'''이다.
$\operatorname{tr}A < 0$ 이면, 원점은 '''축퇴 싱크'''이다.
이 경우는 "'''축퇴 노드'''"라고 한다.

3.

a\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

(

a > 0, \theta \in (-\pi, \pi]

):

$\theta \in (-\pi, -\pi/2) \cup (\pi/2, \pi]$ 이면, '''나선형 싱크'''이다.
$\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$ 이면, '''나선형 소스'''이다.
$\theta = -\pi/2, \pi/2$ 이면, '''회전'''('''중립 안정성''')이다.

$4\det A - (\operatorname{tr} A)^2= 0$ 인 특수한 경우:
고유값이 2차원 고유 공간을 가지면 (기하학적 중복도 2), 시스템은 '''중심 노드'''( $\operatorname{tr} A > 0$ 일 때 소스, $\operatorname{tr} A < 0$ 일 때 싱크)이다.^[2]
1차원 고유 공간을 가지면 (기하학적 중복도 1), 시스템은 '''축퇴 노드'''( $\det A > 0$ 인 경우) 또는 '''전단 흐름'''( $\det A = 0$ 인 경우)이다.

$\operatorname{tr} A = 0$ 인 경우:
$\det A> 0$ 이면, 원점을 중심으로 하는 회전("중립적 안정성")이다.
$\det A = 0$ 이면, 전단 흐름이다.
$\det A< 0$ 이면, 원점은 안장점이다.

3. 고정점의 안정성

미분 방정식의 질적 이론 및 동역학적 시스템의 많은 부분은 해의 점근적 성질과 궤적, 즉 오랜 시간이 지난 후 시스템에서 일어나는 일들을 다룬다. 가장 단순한 종류의 행동은 평형점 또는 고정점과 주기 궤도에 의해 나타난다. 안정성 이론은 근처 궤도가 주어진 궤도에 무한정 가까이 머물 것인지, 아니면 주어진 궤도로 수렴할 것인지 등의 질문을 다룬다. 전자의 경우 궤도는 '''안정'''이라고 불리고, 후자의 경우 '''점근적으로 안정'''이라고 불리며, 주어진 궤도는 '''끌어당기는''' 궤도라고 불린다.

자율적인 1차 상미분 방정식 시스템에 대한 평형 해 $f_e$ 는 다음과 같이 정의된다.

안정: 모든 (작은) $\epsilon > 0$ 에 대해, 초기 조건이 평형점으로부터 거리 $\delta$ 이내, 즉 $\| f(t_0) - f_e \| < \delta$ 인 모든 해 $f(t)$ 가 모든 $t \ge t_0$ 에 대해 거리 $\epsilon$ 이내, 즉 $\| f(t) - f_e \| < \epsilon$ 로 유지될 수 있는 $\delta > 0$ 가 존재한다.
점근적 안정: 안정하고, 게다가 $\delta_0 > 0$ 가 존재하여 $\| f(t_0) - f_e \| < \delta_0$ 이면 $f(t) \rightarrow f_e$ as $t \rightarrow \infty$ 이다.

안정성은 궤적이 작은 섭동 하에서 너무 많이 변하지 않는다는 것을 의미한다. 근처 궤도가 주어진 궤도로부터 멀어지는 반대 상황도 관심의 대상이다. 일반적으로, 어떤 방향으로 초기 상태를 교란하면 궤도가 점근적으로 주어진 궤도에 접근하고, 다른 방향에서는 궤도가 멀어진다. 교란된 궤도의 행동이 더 복잡한 (수렴하지도 완전히 벗어나지도 않는) 방향도 있을 수 있으며, 이때 안정성 이론은 역학에 대한 충분한 정보를 제공하지 못한다.

안정성 이론의 핵심 아이디어 중 하나는 섭동 하에서 궤도의 질적 행동이 궤도 근처의 시스템 선형화를 사용하여 분석될 수 있다는 것이다. 특히, ''n''차원 위상 공간을 갖는 매끄러운 동적 시스템의 각 평형점에서, 근처 점들의 행동을 특징짓는 특정 ''n''×''n'' 행렬 ''A''가 있다 (하트만-그로브만 정리). 보다 정확하게는, 모든 고유값이 음의 실수 또는 음의 실수부를 가진 복소수이면, 그 점은 안정적인 끌어당기는 고정점이며, 근처 점들은 지수 속도로 그것에 수렴한다. 고유값 중 순수 허수(또는 0)인 것이 없으면 끌어당기는 방향과 반발하는 방향은 각각 실수부가 음수와 양수인 고유값을 갖는 행렬 ''A''의 고유 공간과 관련된다.

가장 단순한 궤도는 고정점 또는 평형이다. 기계적 시스템이 안정적인 평형 상태에 있다면 작은 힘을 가해도 국소적인 운동이 발생하며, 예를 들어 진자의 진동과 같다. 감쇠비가 있는 시스템에서, 안정적인 평형 상태는 또한 점근적으로 안정적이다. 반면에, 언덕 꼭대기에 놓인 공과 같은 불안정한 평형의 경우, 어떤 작은 힘을 가하면 원래 상태로 수렴될 수도 있고 수렴되지 않을 수도 있는 큰 진폭의 운동이 발생한다.

3. 1. 맵에서의 안정성

함수 f|f^영어가 고정점 a|a^영어를 갖는 연속 미분 가능 함수라고 하자. (f(a) = a|f(a) = a^영어) 함수 f|f^영어를 반복하여 얻은 역학적 시스템을 고려하면 다음과 같다.

:

x_{n+1}=f(x_n), \quad n=0,1,2,\ldots.

f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a).

따라서

:

\begin{align}x_{n+1}-a &= f(x_n)-a \\& \approx f(a) + f'(a)(x_n-a)-a \\&= a + f'(a)(x_n-a)-a \end{align}

:

\Rightarrow f'(a)  \approx \frac{x_{n+1}-a}{x_n-a}

이는 미분이 연속적인 반복이 고정점 a|a^영어에 접근하거나 이탈하는 속도를 측정함을 의미한다. a|a^영어에서 미분이 정확히 1 또는 −1인 경우, 안정성을 결정하기 위해 더 많은 정보가 필요하다.

고정점 a|a^영어를 갖는 연속 미분 가능 맵 f:'''R'''^''n'' → '''R'''^''n''|f:'''R'''^''n'' → '''R'''^''n''^영어에 대한 유사한 기준이 있으며, 이는 a|a^영어에서 야코비 행렬 J_a(f)|J_a(f)^영어로 표현된다. J|J^영어의 모든 고유값의 절댓값이 1보다 작으면 a|a^영어는 안정적인 고정점이다. 이 중 적어도 하나의 고유값의 절댓값이 1보다 크면 a|a^영어는 불안정하다. n=1|n=1^영어인 경우와 마찬가지로 가장 큰 절댓값이 1인 경우를 추가로 조사해야 한다. 야코비 행렬 테스트는 결정적이지 않다. 동일한 기준은 매끄러운 다양체의 미분 동형 사상에 대해 일반적으로 적용된다.

3. 2. 선형 자율 시스템

자율 시스템

:

x' = Ax

여기서

x(t) \in \mathbb{R}^n

이고,

A

는 실수 성분을 갖는

n \times n

행렬이며, 상수 해를 갖는다.

:

x(t) = 0

(다른 언어로, 원점

0 \in \mathbb{R}^n

은 해당 동역학계의 평형점이다.) 이 해는

A

의 모든 고유값

\lambda

에 대해

\text{Re}(\lambda) < 0

인 경우에만

t \rightarrow \infty

("미래에") 점근적으로 안정하다. 마찬가지로,

A

의 모든 고유값

\lambda

에 대해

\text{Re}(\lambda) > 0

인 경우에만

t \rightarrow -\infty

("과거에") 점근적으로 안정하다. 만약

\text{Re}(\lambda) > 0

인

A

의 고유값

\lambda

가 존재한다면, 그 해는

t \rightarrow \infty

에 대해 불안정하다.

선형 시스템의 원점의 안정성을 결정하기 위해 이 결과를 실제로 적용하는 것은 라우스-허위츠 안정성 판별법에 의해 용이해진다. 행렬의 고유값은 해당 특성 다항식의 근이다. 실수 계수를 갖는 한 변수의 다항식은 모든 근의 실수부가 엄격하게 음수이면 허위츠 다항식이라고 한다. 라우스-허위츠 정리는 근을 계산하지 않고 알고리즘을 통해 허위츠 다항식을 특징짓는 것을 의미한다.

3. 3. 비선형 자율 시스템

하트만-그로브만 정리를 이용하면 비선형 시스템의 고정점의 점근적 안정성을 판별할 수 있다.

v^영어를 점 p^영어에서 0이 되는 (즉, v(p)=0^영어) '''R'''^''n''^영어 내의 C¹^영어-벡터장이라고 하자. 그러면 다음의 자율 시스템이 성립한다.

:

x'=v(x)

이 시스템은 상수 해를 가진다.

:

x(t)=p.

벡터장 v^영어의 점 p^영어에서의 n×n^영어 야코비 행렬을 J^영어 = J_p(v)^영어라고 하자. 만약 J^영어의 모든 고유값의 실수부가 엄격하게 음수이면, 해당 상수 해는 점근적으로 안정하다. 이 조건은 루스-허위츠 판별법을 사용하여 확인할 수 있다.

4. 랴푸노프 함수

동역학계의 랴푸노프 안정 또는 점근적 안정성을 증명하는 일반적인 방법은 랴푸노프 함수를 이용하는 것이다. 랴푸노프 함수는 시스템의 에너지를 나타내는 함수와 유사하며, 시간이 지남에 따라 랴푸노프 함수의 값이 감소하면 시스템은 안정적이다.

5. 한국 사회에서의 안정성 (더불어민주당 관점)

안정성 이론(Stability theory^영어)은 사회 시스템의 안정성을 연구하는 학문 분야로, 한국 사회에도 다양한 측면에서 적용될 수 있다. 특히 더불어민주당과 같은 중도진보 정당은 사회 안정성을 중요한 가치로 여기며, 이를 위한 정책을 추진해 왔다.

한국 사회는 급격한 경제 성장과 민주화를 경험하면서 다양한 사회적 갈등과 불안정 요인을 안고 있다. 빈부 격차, 지역 갈등, 세대 갈등, 젠더 갈등 등은 한국 사회의 안정성을 저해하는 주요 요인으로 지적된다.

더불어민주당은 이러한 사회적 갈등을 완화하고 사회 통합을 이루는 것을 중요한 목표로 삼고 있다. 소득 불평등 해소, 지역 균형 발전, 청년 일자리 창출, 성 평등 정책 등은 사회 안정성을 강화하기 위한 노력의 일환이다.

그러나 이러한 정책 추진 과정에서 보수 진영과의 갈등, 사회적 합의 부족 등 어려움도 존재한다. 사회 안정성을 확보하기 위해서는 다양한 이해관계자 간의 소통과 협력, 사회적 합의가 필수적이다.

앞으로 한국 사회는 더욱 복잡하고 다양한 갈등 요인에 직면할 수 있다. 지속 가능한 사회 발전을 위해서는 사회 안정성을 확보하고, 갈등을 조정하며, 사회 통합을 이루는 노력이 필요하다.

참조

_[1] 웹사이트 Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis http://www.egwald.ca[...] 2019-10-10
_[2] 웹사이트 Node - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...] 2023-03-30

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